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四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间
的关系
1
1、偶函数
11
f f t
f f t
（t）= （）
（t）= （）
ff ff tt
（（tt））== （（…））
纵轴对称的性质
f（t）
f（t）
f（t） ff（（tt））
f（t）
ff（（tt））
t
O t
O tt
t OO
O t
O tt
OO
…………………………………………………………Page 331……………………………………………………………
1、偶函数
1
11
纵轴对称的性质
f f t
f f t
（t）= （）
（t）= （）
ff ff tt
（（tt））== （（…））
可以证明：
b
b =0
bb =0
==00
k
k
kk
展开式中只含有余弦顶分量和直流分量
∞
f （t） = a ＋∑a cos（kωt）
0 k 1
k=1
…………………………………………………………Page 332……………………………………………………………
2、奇函数
2
22
f f t
f f t
（t）=（）
（t）=（）
ff ff tt
（（tt））==…（（…））
原点对称的性质
f（t）
f（t）
f（t） ff（（tt））
f（t）
ff（（tt））
O
O
OO O t
O t
t OO tt
t
tt
…………………………………………………………Page 333……………………………………………………………
2
2、奇函数
22
原点对称的性质
f f t
f f t
（t）=（）
（t）=（）
ff ff tt
（（tt））==…（（…））
可以证明：
a
a =0
aa =0
==00
k
k
kk
展开式中只含有正弦顶分量
∞
f （t） = ∑b sin（kωt）
k 1
k=1
…………………………………………………………Page 334……………………………………………………………
3、奇谐波函数
3
33
f f t＋T/2
f f t＋T/2
（t）=（ ）
（t）=（ ）
ff ff tt＋＋TT//22
（（tt））==…（（ ））
镜对称的性质
f（t）
f（t）
ff（（tt））
t
t
tt
T T
T
O TT
O
OO
2
…………………………………………………………Page 335……………………………………………………………
3、奇谐波函数
3
33
镜对称的性质
f f t＋T/2
f f t＋T/2
（t）= （ ）
（t）= （ ）
ff ff tt＋＋TT//22
（（tt））== （（ ））
可以证明：
a =b
a =b =0
aa ==bb =0
2k 2k ==00
2k 2k
22kk 22kk
展开式中只含有奇次谐波分量
f（t）=
f（t）=
ff（（tt））==＇a cos（ωt） ＋b sin（ωt）＇
1 1 1 1
＋＇a cos（3ωt） ＋b sin（3ωt）＇
3 1 3 1
＋···
…………………………………………………………Page 336……………………………………………………………
判断下面波形的展开式特点
f（t）
f（t）
ff（（tt））
t
O t
O tt
OO
f（t）
f（t）
ff（（tt））是奇函数
展开式中只含有正弦分量
f（t）
f（t）
又是奇谐波函数
ff（（tt））
展开式中只含有奇次谐波
f（t）=
f（t）=
ff（（tt））== b sin（ωt） ＋b sin（3ωt） ＋···
1 1 3 1
…………………………………………………………Page 337……………………………………………………………
4、系数和计时起点的关系
4
44
A
A
系数AA 与计时起点无关（但ψ 是有关的），
km k
km k
kkmm kk
这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的
振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一
定的，
并不会因计时起点的变动而变动；
因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初
相作相应地改变。
a b
a b
由于系数aa 和bb 与初相ψ 有关，所以它们也
k k k
k k k
kk kk kk
随计时起点的改变而改变。
…………………………………………………………Page 338……………………………………………………………
4、系数和计时起点的关系
4
44
a b