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刘应明专长于模糊数学与拓扑学。通俗地说，模糊数学就是在问题已知条件不充分、不精确、不完备的情况下，通过数学处理，得出有价值的结论的数学；拓扑学就是研究一种变化趋向、连续性的数学。的确，对于一般人难以接受这样的解释。
１９７５年的那个雨雪交加的一天，趁寒假刘应明提着简单的行囊，艰难地走在泥泞的山路上，来到雅安县草坝乡探亲。草坝乡村中学坐落在一个田埂环绕的山丘上，这里距离成都３００余里。刘应明的妻子吴玉群就在这个由已历百年的法国教堂改建的乡村学校任教。
他们夫妻结婚几年，却是聚少离多，唯一团聚的日子就是学校的寒暑假。说是探亲，他却带着满脑子未解的“题”，带着无法停顿的思索来的。一年前，他与川大数学系的老师自行组织了研讨班，研讨刚刚开始出现的不分明拓扑学。可惜不到一年，一场“政、教不分明”的风波，使这个研讨班不得不宣告解散。研讨班虽然停止了，可研讨中的问题却日夜缠绕在刘应明的脑中，他要继续研究，只有躲开没完没了的大会小会。于是，就有了这一次的“探亲”。善解人意的妻子为了让他避开干扰，特地从学校借来一间平房，让他潜心研究。
日复一日过去了，又一个傍晚来临，他依然走到学校附近的田埂散步，一边走，一边不停地思索。天却突然阴沉起来，细雨也纷纷落了下来。不一会儿，他身上全都被雨打得湿漉漉的，而他却全然不知，思想的链条紧绷着。走着，走着，眼前蓦然一亮，思索了多日的问题，终于有了线索。他急忙回到房间计算起来。接下来荒郊索居的“探亲”日子里，他夜以继日，终于完成了一篇２万余字的论文《不分明拓扑学———不分明点的邻近构造与Ｍｏｏｒｅ－Ｓｍｉｔｈ收敛》。
这篇共１４章、长达２万余字的数学论文在提交中国科学院数学所审查时，得到很高的评价，并在两年后的１９７７年《四川大学学报》复刊上得以刊出。随着英文版在美国发表，被国内外同行广泛引用。就是这篇论文提出了一种崭新的邻近构造，首创一种与传统概念不同的重域系，被国内外同行普遍认为奠定了不分明拓扑学（即模糊拓扑学）有点化流派基础。有关成果还引起人工智能、多值逻辑专家的高度重视、运用。
随着深入的分析研究，他又综取有点化与无点化两家之长，在嵌入理论、度量化理论、紧化理论等方面取得了一系列突破，并写出了一系列论文。他还在不分明拓扑学中相关的代数与序结构研究中取得高水平成果，成为同行中“代数化流派”的代表人物，被称为“开辟了崭新的研究方向”，“赋予不分明拓扑以新的生命”。牛津大学数学系主任吉姆斯主编的英国伦敦数学会蓝皮书评价为：“重域系的建立，极富创见性，是目前为止最成功的成果”。前苏联《数学进展》认为刘的有点化流派“克服了传统的严重障碍”。美国权威性评论杂志《数学评论》对此多次评论，认为“解决了重要问题”。这标志着刘应明研究的高峰期的到来，而且奠定了他在数学界的学术地位。
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刘应明：“中国的查德”（5）
爱国同胞和国际友人真挚热烈的祝贺使他真正领会
到了一个人如何才能对国家有所贡献
“文革”结束后，科学的春天到来了。刘应明也同千千万万科技工作者一样，沐浴在和煦的春风里。一篇接一篇论文开始在国内外重要的学术刊物上登载，一项又一项引人瞩目的科研成果纷纷被他采撷。真可谓厚积十余载，薄发于一朝。
采访时，记者问哪一件事对他影响最大。刘应明这样作答：“邓小平同志复出、改革开放，对我影响最大。”其实，这何止于他本人，更是对一代人、乃至一个民族影响深远。说到最遗憾的事，他无奈地笑了笑：“知识分子的春天来得太迟、太迟了！如果是我２０岁时来的，我为国家为科技方面完全可能会做更多的事。”
１９７８年，成都，中国数学学会第三次代表大会。作为东道主之一的四川大学论文太少，就想到了整日埋头研究的刘应明，他被慌忙拉来应阵。这使刘应明在中国数坛初露锋芒。
１９７８～１９７９年，刘应明与他的拓扑同行，连续两年分别获得全国科技大会奖、四川省重大科技成果奖，而他也破格由助教直升为副教授。
刘应明的研究在国际上也开始有了反响。１９８０年３月，美国权威的《数学评论》聘请他为评论员。
１９８２年，对刘应明来说，是个喜庆之年。年初，他被当时的###聘为《数学年刊》编委，他还荣获国家自然科学奖，又参加了国家科技奖励大会。法国政府邀请他赴法讲学，并函称他为“不分明空间及其代数问题的国际知名专家”。
巴黎、里昂一行给刘应明留下了极其难忘的记忆。这是刘应明首次跨越文稿交流的局限而登上了国际数坛。他应邀出席第十二届国际多值逻辑会议。在会议上他作了成功的学术报告。当他在里昂大学讲学时，学校事先发了海报。在里昂留学、工作、访问的一些中国学子，不论学什么专业的，都赶来听讲。因为这是改革开放后第一位在里昂讲学的中国人。
在一场学术报告会后的宴会上，一位法国颇有声望的教授特意要求坐在他旁边。席间，这位教授对刘应明说：“希望你能留下来和我们合作。”当法国同行挽留他时，刘应明婉言谢绝了，他说“我的根在中国”。也就是这一年，他还应邀成为德、法、荷等国学术刊物的编委与评论员。
２０世纪８０年代初，刘应明在他提出不分明拓扑学的邻近结构基础上，深入分析国外不分明拓扑中无点化流派及格上拓扑的成果，结合有点化流派方法，在一致结构、嵌入理论、度量化定理及紧致化问题上均有深入研究，把由法国大数学家厄勒斯曼首创的格上拓扑学推向了一个新阶段。同时，他积极参与我国有关的８６３项目及国家重大基金项目的研究，在模糊性内在规律与模糊性的数学理论方面取得了喜人的成果。
在刘应明眼中，自己研究的模糊性就像空气一样无处不在，并非人们想像的那样深奥玄迷。“人们说的话，１０句至少有８句是模糊的。”刘应明笑着说，“‘今天天气不错’这句话就是模糊的，你可以根据这句话就放心出门，但如果精确地告诉你，今天的气压是多少，风力有多大，紫外线强度有多少，你可能就无法判断自己该不该出门了。”他接着说，“炒菜就是人们利用大脑对模糊信息进行处理的一个例子，炒菜的人不会用温度计来测炒锅达到什么温度，然后再下菜，也不会准备一只天平来称该下多少菜，如果什么事情都要精确，你将寸步难行。”采访中，记者渐渐了解到———模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学表面上毫不相关或关系不大的学科（如心理学、语言学、社会科学以及生物学等）都有可能定量化地用数学加以描述和处理，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊数学的基本原理和方法。
刘应明：“中国的查德”（6）
纵观当今世界，从日本地铁运行、家电生产到德国西门子炉窑控制，说明经济发达国家已形成模糊技术产业。为了祖国跟上世界先进水平，刘应明振臂呼吁，建言献策。他与同事首先成功的是降维问题。在研究中，他摒弃了“简单表示”的思路，改用“简单逼近”的方法，得出了十分简单的表示式，而且可以达到任何事先指定的精度，实现了真正的降维。这项成果在专家系统的“组合证据”处理以及模糊类隶属函数的确定等重要问题中都有重要的运用。在接下来的研究中，他从层次入手，得出各层次之间拓扑结构的深刻结果，成功地解决了格值狄奥多列插入问题。这是一种决定映射的全新方法。为此，在１９９１年国际数学家大会的拓扑学卫星会议（筑波）上，刘应明作了５０分钟特邀报告。
在计算机科学中提出的一种序结构———Ｄｏｍａｉｎ中，刘应明与合作者对其中载于名著“Ｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ”（１９９０，Ｅｌｓｅｖ