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集中在一件并不见得实在是有趣的事情上。第二，恁凭我怎么努力，我没有进展。一九○三年和一九○四年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。我第一个成就是一九○五年春季的叙述学说。这个学说我将在下文谈到。在表面上看，这是和这些矛盾没有关系的，但是后来一种没有想到的关系出现了。最后，我看得十分清楚，类型说的某种形式是极关紧要的。我现在不着重来讲在《数学原理》里讲到的那个学说的特殊形式。
但是我仍全然深信，没有这个学说的某种形式，这些悖论就无法解决。
正当我在寻求一个解决办法的时候，我觉得如果这个解决完全令人满意，那就必须有三个条件。其中的第一个是绝对必要的，那就是，这些矛盾必须消失。第二个条件最好具
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《数学原理》：哲学方面７７
备，虽然在逻辑上不是非此不可，那就是，这个解决应该尽可能使数学原样不动。
第三个条件不容易说得正确，那就是，这个解决仔细想来应该投合一种东西，我们姑名之为“逻辑的常识”
，那就是说，它最终应该象是我们一直所期待的。在这三个条件之中，第一个当然是大家所公认的。可是第二个是为一个很大的学派所否认的，他们认为分析的很大一部分是不正确的。那些以善用逻辑而自满的人以为第三个条件是不重要的。举例来说，奎尹教授曾制作出一些体系来。我很佩服这些体系的巧妙，但是我无法认为这些体系能够令人满意，因为这些体系好象专是为此创造出来的，就是一个最巧妙的逻辑学家，如果他不曾知道这些矛盾，也是想不到这些体系的。但是，关于这一个问题已经出现了大量而且很深奥的文献，其细微的地方我就不再多说了。
撇开困难的专门细节不谈，我们可以把类型说的梗概说一说。也许研究这个学说的最好的办法是考查一个“类”的意义是什么。我们先用一个平凡的例子来说明。假定饭后请你吃饭的主人在三种甜食里面请你挑选，要你吃一种或两种，或三种都吃，随你的意。你可以有多少办法呢？你可以都谢绝。这是一种办法。你可以在甜食之中取一种。这有三种不同的可能的办法，所以你又有三种选择。你可以选得甜食之中的两种。这又可能有三种办法。或者三种甜食你都要。这给你一个最后的可能性。这样说来，可能性的总数是八，也就是２３。不难把这个程序归纳成通则。假定在你面前有ｎ那么多的东西，你想知道在ｎ之中一个不选，或选几个，或者都要，一共有多少选择。你就要知道，办法的数目是２ｎ。用
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８７第 七 章
逻辑的语言来说：一个有ｎ项的类有２ｎ那么多的次一级的类。如果ｎ是无限的，这一个命题仍然是正确的。坎特所证明的是，即使在这一个例子中，２ｎ是大于ｎ。
如果像我那样把这个应用于宇宙中的一切事物，我们就得到这样一个结论：事物的类是多于事物。因此类就不是“事物”。但是，因为没人十分懂得这句话里“事物”这个字是什么意思，把我们所已经证明出来的东西很确切地说出来是不很容易的。我所不能不得出来的结论是：类不过是说话时的一种方便而已。在我写作《数学的原理》的时候，关于类这个问题我已经有些觉得没有办法。可是，我那时候表达意思所用的语言，我现在想来，是不应该那么有实在论的色彩的（实在论是取经院哲学上的意义）。我在那本书的序文中曾这样说：“讨论难以界说的东西（占哲学逻辑的主要部分）
是想法子把这些实体看得清楚，也是使别人看明白这些实体，这样，我们的心理也许对于这些实体有一种认识，和认识红的颜色或菠萝的味道一样。凡我们获得难以界说的东西主要是在分析过程中必然留有残余的时候（现在所说的例子就是如此）
，知道一定有这样的实体往往比实际上觉察到这些实体要容易一些；有一种过程，这种过程和发现海王星的过程相类似，只是有一个不同之点，就是，用精神的望远镜来寻求那个已经推论出来的实体，这个最后的阶段往往是从事这件事情最困难的部分。关于类这个例子，我不得不坦白地说，我没有看出有任何概念可以满足类这个概念的必要条件。在第十章中。
所讨论的矛盾，证明有些东西不大对，但是，这究竟是什么我一直看不出来。“
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《数学原理》：哲学方面９７
我现在对于这件事的说法应该有些不同了。
我应该说，假定有任何命题函数，比如说ｆｘ，那么ｘ的值就有一个相当的范围，就这个值的范围来说，这个函数是“有意义的”
，也就是说，不是真就是伪。如果ａ是在这个范围之中，ｆａ就是一个命题，这个命题不是真就是伪。除了用一个常数代替ｘ这个变数以外，关于一个命题函数，还有两件事可做：一件是说它永远是真；另一件是说它有时是真。
“如果ｘ是人，ｘ就不免于死”这一个命题函数永远是真；“ｘ是人”这一个命题函数有时是真。所以关于一个命题函数有三件事情可做：第一是用一个常数来代替变数；第二是对于这个函数的一切值加以断定；第三是对于一些值，或者至少一个值，加以断定。
命题函数本身只是一个式子而已。它并不对于什么加以断定或否定。同样，一个类不过是一个式子而已。它只是谈使这个函数为真的变数的那些值的一种方便方法而已。
关于上面所说解决这个问题所需要的三个必要条件之中的第三个条件，我曾提出来一个学说，这个学说好象是不合别的那些逻辑学家的意的。可是在我看来，这个学说仍然是正确的。这个学说可以述之如下：当我对于一个ｆｘ函数的一切值加以断定的时候，我断定的若要明确，ｘ所能采取的值就必须是明确的。那就是说，ｘ所可能有的值必须有一个总体。
如果我现在进而创立以那个总体来说明的新的值，这个总体好象就因此扩大了，而且与它有关的新的值也就因此和那个扩大了的总体有了关系。但是，因为新的值不能不包括在这个总体之中，这个总体就永远追不上这些新的值，这个过程就好象你想要跳到你的头的影子上。我们用那个关于说谎的
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０８第 七 章
人的悖论最能简单地对于这一点加以说明。
那个说谎的人说：“不论我说什么都是假的”。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。我们不能不把涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题加以区分。那些涉及命题总体的命题决不能是那个总体之中的份子。第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。
所以我们那位说谎的人现在就不能不说：“现在就是肯定一个第一级的伪命题，这是伪的。”但这本身是一个第二级的命题。
所以他不是说出任何第一级的命题。因此他所说的简直就是伪的，说它也是真的这种议论不攻自破。这种论证完全可以用于任何高一级的命题。
我们可以发见，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身自指应该根据同样的理由加以指斥。
那就是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西又是总体中的一份子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。
我不能不坦白地说，这个学说还没有获得广泛的承认。
但是我还没有见到能使我信服的反对这个学说的论证。
前面曾经提过的叙述学说是在发表于一九○五年《心》学报的我的一篇文章《论指示》中第一次提出的。那时的那位编辑人觉得这个学说很不合理，他请我重加考虑，不要要求照原样发表。但是，我相信这个学说是正确的，我拒绝让步。
这个学说后来得到普遍的承认，大家以为这是我对于逻辑最重要的贡献。的确，现在那些不相信名称和别的字之间是有
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《数学原理》：哲学方面１８
区别的人对于这个学说是有一种反应。但是我认为只有在那些�