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“你需要大量的训练，如果基础没有其他人好，就要付出成倍的努力，从今天起，我会每天布置一份相似的试卷给你，你在晚饭之后到我的办公室来，我给你解答。”
莱纳说道，令丹娜不禁打了个冷战。
这一份试卷已经让她感受到了被数学支配的恐怖，现在莱纳竟然要她每天都写一份，这个人难道是恶魔吗？
但这并非是莱纳的恶行，实际上，出试卷比起单纯解答试卷要困难得多，莱纳这也是为了锻炼自己的数理能力，为着通过进阶考试做准备。
同时，他也可以在丹娜身上测试这个教育方法是否有成效，如果效果良好，他或许就会将其推广到整个新月学院。
毕竟成功进阶法师的比例也是每年考核的一部分。
所幸低阶法师需要的数学功底没有多深，甚至就连微积分都用不上，莱纳目前的知识绰绰有余。
“可以少几题吗。。。。。。”
丹娜怯生生地问道，但莱纳断然拒绝了这个请求，令这位女生一阵哀叹。
“另外，除去基本功的训练，构筑法术模型的方法也很重要。”
莱纳回到讲台上，令丹娜与克莱尔的目光再度聚焦在黑板，那个光照术的法术模型上。
一开始莱纳说的改良法术模型的话语又再度浮现在她们的心头，两位女士怀揣着好奇的心态看着莱纳，不知道他究竟要从哪里开始改良。
可没想到莱纳却没有在法术模型上继续动笔，而是在旁边，用白色的粉笔点下一个点。
“我们新建立一个坐标系。”
莱纳划出一条笔直的水平线，将原点定为o，横轴定为r，当然这并非英文字符，而是通用语的两个字母。
但接下来，克莱尔意料之中的纵轴却没有出现，仿佛莱纳的坐标轴就到此为止了。
“咦？”
就在两人疑惑之时，莱纳从原点延伸出了一条线段，然后标注了一下这条线与横轴的夹角，定为θ，将线段的另一端的点定为a。
“过去，直角坐标系可以用两个数值来确定平面上的一点，比如这个点，如果在直角坐标系上，就应该是a（x，y），假设x和y都是1，那么a应该就是（1，1）。”
莱纳说着，然后话锋一转。
“但如果我不用x和y，转而使用a点与原点的连线同横坐标轴的夹角θ与单位长度r来表示这个点，会得到什么结果呢。”
给了两人一些思考的时间，莱纳才在黑板上继续写上。
a（r*cosθ，r*sinθ）。
这个有些特别的表述方式令丹娜有些晕，不过三角函数算是构筑魔法的基础，在魔法中，角度的计算也要更加方便，所以她很快也就理解了。
“这个是我引入的新的坐标表述方法，可以称其为极坐标。”
说完，莱纳在旁边建立了一个正常的直角坐标系，画了一条过原点的开口向上的抛物线。
“倘若我们想描述这个曲线的函数方程，应该是什么，丹娜？”
他提问道，令丹娜猝不及防。
不过好在这比较简单，丹娜很快就给出了答案。
“呃，y=x^2？”
“准确来说，应该是y=2p*x^2，在这个函数方程中，由于涉及到平方的操作，所以比一般的直线方程要更加复杂，如果曲线的位置有所变化，比如不在原点的话，那么就会更加麻烦。”
莱纳说着，又继续在黑板上书写。
“接下来我们可以建立两个等式：y=r*sinθ，x=r*cosθ，将其代入原本的方程，消去简化之后就能得到一个方程，r=tanθ/cosθ。”
克莱尔点了点头，但这个函数方程看起来似乎更加复杂了，她不明白莱纳为何要用这种麻烦的方式来记录曲线的轨迹。
“当然，这是非常复杂的方式，但如果我们稍微改变一下定义，r是抛物线上的点与焦点的距离，θ确定为抛物线上的点与焦点连线同纵轴正方向的夹角呢？”
莱纳的提问让克莱尔与丹娜愣住了。
第七十一幕。莱纳的数学教室（下）（）
已故的法则系高阶法师安德尔。卢瓦尔对抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，而那个定点便是抛物线的焦点，那一条定直线就是抛物线的准线。
“这条抛物线的准线方程是y=…p/2，焦点则是0，p/2，引入极坐标，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ＋p/2。”
莱纳在黑板上流畅地书写着，他之前已经自己推导过一遍，因此现在只不过是复述而已。
“那么，这个抛物线上的点a到准线的距离就是r*cosθ＋p，到焦点的距离就是r，根据定义，这两者应当是相同的，即为r=r*cosθ＋p，稍微化简一下，以θ为自变量，就能得到一个表达式r=p/（1…cosθ）。”
计算式子在黑板上不断被书写，犹如一条条神秘的咒语，指引着一个奇妙的世界。
“将其带入原始的函数方程，很容易就能看出这两者是等价的，不过是同一个抛物线在不同坐标系下的不同数学表达而已。”
而很明显，极坐标的函数方程十分简洁，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。
莱纳在查阅这个世界的数学资料时，发现出人意料的，这里的数学发展比起其他方面的发展要落后许多，虽然各种曲线方程，三角函数的发展已经很快，大部分数学概念已经被确定下来，但涉及到微积分与数论方面的知识却鲜少有人讨论，至于虚数的领域更是尚不存在。
法则系的传奇法师伊萨里斯。艾伯顿阁下是微积分的创始者，但他最开始不过是为了用来描述自己的运动三大定律，完全没有想到将其发扬光大。
微积分的普及还是在数年之后，刚刚成为高阶法师的艾伯顿阁下所在的学校面临经费危机，他才想到将微积分作为法则系学生的必修课，当年学校的重修费收入便提高了百分之五百以上，顺利度过了危机，而微积分也开始成为中高阶法师们构筑法术模型时候的参考。
究其原因，莱纳认为有两点。
第一点，这毕竟是一个魔法的世界，古代法师们在没有任何数学理论的基础上照样发展出了灿烂辉煌的文明，对于绝大多数法师而言，经验直觉远比计算来得方便，而越是高阶法师，这一点体现得越明显。
用一个简单的例子来说明便是测量一个不规则桶的容积，人们既可以选择将其分解，不断积分得到最终答案，也可以选择直接用魔力灌满，得到答案，而后者显然简单粗暴得多。
高阶法师们就像是拥有强大计算力的机器，哪怕只用单纯的穷举法也能完成绝大多数法术模型的计算。
数学在这个世界归根结底还只不过是捷径，而强者不需要捷径，弱者的学识又不足以找到新的捷径，因此这个学科的发展一直没有人推动。
如今数学成果的进步大多还仰仗于现实中遇到了难以解决的问题，人们才会转头去寻求数学的帮助。
第二点，也是最重要的一点，那就是数学的发展无法获得世界的反馈。
即便莱纳提出了极坐标体系，但世界的反馈几乎不存在，一千八百年前泰勒斯。阿纳克希提出了三角形的阿纳克希定理，这重大发现却完全得不到世界的反馈，一度让他以为自己弄错了。
艾伯顿阁下创立的微积分也没有对他构筑法术模型和收获学生的怨念之外产生任何帮助，也正因此，直到现在，在法师的派系中也并没有专门研究数学的一派，更没有数学家，研究者大多分布在法则系与元素系之中，专注于用数学知识优化法阵与法术模型，更倾向于应用数学。
这个世界的学术体系之所以蓬勃发展，人们之所以对真理求贤若渴，很大一部分原因便是对世界真实的探索能够获得反馈，获取力量，而看起来“一无是处”的数学，自然就无人问津了。
“这太奇妙了。”
丹娜小声说道，倘若以莱纳得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的轨迹方程，她在今天之前，从来没有意识到数学竟然有这种奇妙的力量。
克莱尔陷入沉思，她想了想，才举起手，提问道。
“可这只能解释抛物线的轨迹，法术模型里还有更多更复杂的曲线，比如椭圆和双曲线，这些该怎么办？”
“这就是问题所在。”
莱纳微微一笑，接着在黑板上画出一个椭圆，建立极坐标，开始推演。